幂平均

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幂平均,又称广义平均或赫尔德平均,是数学中对毕达哥拉斯平均(包括算术平均、几何平均、调和平均等)的抽象化表达。其定义为:设a₁,a₂,…,aₙ为n个正数,r次幂平均可表示为(a₁ʳ+a₂ʳ+…+aₙʳ)/n,满足一次齐次性。幂平均的特例涵盖调和平均(r=-1)、几何平均(r→0时的极限)、算术平均(r=1)等。根据琴生不等式可证,当指数pq时,对应的幂平均满足大小关系。该计算方法可分解为相同大小的子块进行运算。在非交换情形下,幂平均可推广至矩阵情形,如α-z加权右均值与非交换广义均值相关联。其数学性质与赫尔德均值理论密切相关,并涉及算子不等式的研究。

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